osciladores LC. 9na publicacion. nanyoly mendez. EES seccion 1. 3er parcial

OSCILADORES ACOPLADOS

Para los matemáticos, la descripción más sencilla se presenta cuando cada oscilador afecta a todos los demás del sistema y la fuerza de acoplamiento aumenta con la diferencia de fase entre osciladores. En tal caso, la interacción entre dos osciladores que se mueven en sincronismo es mínima.

La sincronía es la modalidad más familiar en la organización de osciladores acoplados; un ejemplo es el caso citado de las luciérnagas macho, que se esfuerzan por atraer a las hembras que cruzan por encima. Los machos se congregan al anochecer, y entre los destellos que al principio no están coordinados, en la noche cerrada empiezan a formarse y crecer núcleos de sincronía. Finalmente, árboles enteros llegan a pulsar en un concierto "silente e hipnótico" durante horas.

Pero esta oscilación acoplada a gran escala se ha resistido durante mucho tiempo a las tentativas de análisis matemático. Las luciérnagas constituyen un paradigma de sistema oscilante "acoplado por impulsos" (la interacción tiene lugar ante el súbito destello de otra luciérnaga que hace modificar a cada una su propio ritmo). Este acoplamiento por impulsos es muy corriente en biología; tal es la sincronía del canto de los grillos o la conexión neuronal a través de los potenciales de acción (picos de tensión eléctrica).

Steven Strogatz creó un modelo matemático idealizado para las luciérnagas y otros sistemas acoplados por impulsos. Así demostró que, en ciertas circunstancias, osciladores puestos en marcha en distintos momentos acaban siempre por sincronizarse. La demostración se fundamenta en la noción de "absorción", abreviatura para la idea de que, si un oscilador impulsa a otro por encima del umbral, ambos permanecen sincronizados para siempre, o sea, una secuencia de procesos de absorción acaba por concatenar y hacer conjuntamente solidarios a todos los osciladores.

Pero la sincronización no es inevitable, ya que es frecuente que osciladores acoplados no lleguen a sincronizarse. Y la explicación reside en la ruptura de la simetría, que significa que un estado simétrico individual -tal como la sincronía- queda reemplazado por varios estados menos simétricos, pero que tomados juntos reintegran la simetría original. En realidad, los osciladores acoplados son una gran fuente de ruptura de la simetría.

La sincronía es el caso más evidente de la concatenación de fases, en la que muchos osciladores se amoldan a un mismo patrón, pero no necesariamente con un mismo paso. Al acoplar dos osciladores idénticos cabe la posibilidad de la sincronía (diferencia de fase igual a cero), y la antisincronía (diferencia de fase de medio ciclo). Un ejemplo biológico es el del canguro que avanza a saltos a través de la llanura australiana: sus patas traseras oscilan de manera periódica y golpean el suelo al mismo tiempo. En cambio, si un hombre corre tras dicho canguro, sus pies tocan el suelo alternativamente. Evidentemente, el campo de posibilidades se amplía enormemente cuando la red consta de muchos osciladores.

En 1985 Ian Stewart desarrolló una clasificación matemática de las pautas de las redes de osciladores acoplados. La clasificación resulta de conjugar la teoría de grupos (simetrías de una colección de objetos) con la llamada bifurcación de Hopf (una descripción general de la forma en que los osciladores se "ponen en marcha").

Las ecuaciones que describen ciertos sistemas se comportan de forma peculiar cuando el sistema es apartado de su punto de reposo. En vez de regresar de forma lenta hacia el equilibrio o de alejarse rápidamente de él hacia la inestabilidad, oscilan. El punto donde se produce tal transición se llama punto de bifurcación porque el comportamiento del sistema se divide en dos ramas: un estado de reposo inestable coexiste con una oscilación estable. Hopf demostró que los sistemas cuya forma linealizada experimenta tal tipo de bifurcaciones son osciladores de ciclo límite (tienen una amplitud y forma de onda característica).